Фурье-преобразования применяются для получения спектра сигнала f(t):

(3.1.1)

Из формулы Эйлера e^iωt = cos(ωt) + i·sin(ωt) несложно понять, что Re-часть g(ω) – это наложение сигнала и функции cos(ωt), а Im-часть – это та, что с sin(ωt) (для комплексного сигнала такое разделение менее четкое). Если не интересоваться информацией о фазе, содержащейся в комплексной части g(ω) (она может быть очень интересна, но это предмет отдельной работы), то получается спектральная функция P(ω) (power spectrum), которая дает зависимость интенсивности спектра сигнала от частоты (без учета фазы сигнала).

(3.1.2)

Пример спектральной функции сложного акустического сигнала показан на рис. 3.1.1.

Рис. 3.1.1. Спектр простого звукового сигнала

ГО с затуханием описывается уравнением:

(3.1.3)

Аналитическое решение дает значение частоты .

Ознакомьтесь с командами Maple, реализующими Фурье-преобразование. Не забудьте про быстрое Фурье-преобразование (fast Fourier transform – fft).

Примените Maple для численного решения задачи о ГО с затуханием для ω₀ = 1 и γ = 0.3. Проверьте, что ГО колеблется при ω_d, а не при ω₀. Для этого нарисуйте спектр при условиях, что y(0) = 10 000, , и запустите код на достаточно длительное время, чтобы получить хорошее разрешение.

Подсказка: вспомните, что команда fft требует равномерного расположения данных.

Принцип неопределенности связывает длительность сигнала во времени с протяженностью его спектра.

Знаменитым в квантовой механике его сделал Вернер Гейзенберг, но в действительности это идея из классической физики, которую можно понять с помощью Фурье-преобразования (вспомните сказанное о принципе неопределенности в задаче 2.9 из [2]).

Пусть у нас есть зависящий от времени сигнал частоты ω₀, который длится ограниченное время Δ_t. В качестве примера возьмем функцию Гаусса:

,

(3.1.4)

которая имеет горб с центром в t₀, ширина которого зависит от параметра W. Поскольку сигнал осциллирует с частотой ω₀, то при ω = ω₀ в спектре следует ожидать максимум. Ширину максимумов принято характеризовать значением полной ширины спектра на половине ординаты максимума (FWHM).

Принцип неопределенности связывает ширину максимума Δω в частотном спектре с шириной Δ_t этого сигнала во времени.

Напишите скрипт Maple, который строит график f(t) из уравнения (3.1.4), выбрав t₀ так, чтобы горб был в центре временного окна. Постройте f(t) и его спектр при ω₀ = 200 с^–1 и W = 10, 1 и 0.1.

Выберите соответствующие значения числа точек N и шаг по времени τ таким образом, чтобы:

• (i) fft работал быстро;
• (ii) частоты вплоть до ω = 400 с^–1 были видны без проблем;
• (iii) разрешение спектра было по крайней мере dω = 0.2 с^–1.

Чтобы увидеть, где в этих графиках скрывается принцип неопределенности, измерьте и запишите в таблицу значения полной ширины спектра на половине ординаты максимума (FWHM) в спектре временного сигнала (Δt) и FWHM частотного пика (Δω_plot). Составьте табл. 3.1.1.

Таблица 3.1.1

W	Δt	Δωplot	Δt Δωplot
0.1
1
10

Чтобы показать саму идею соотношения неопределенности, не занимаясь строгим математическим доказательством, получим линейное «соотношение неопределенности» между шириной временного сигнала и шириной частотного пика. Это грубая оценка.

Действие принципа неопределенности можно ощущать, слушая музыку. Приятное звучание музыкального инструмента создается при условии, что ширина спектра уже, чем положение его пика. Например, при частоте звучания ω = 6000 с^–1 ширина Δω спектра, равная 1 %, получится Δω = (0.01) · (6000 с^–1) = 60 с^–1 (пример для флейты). Согласно принципу неопределенности ΔωΔt = 1. Тогда для получения требуемого звучания этой ноты ее следует удерживать в течение времени Δt ≈ 1/60 ≈ 0.017 c. Для низкой ноты с ω = 200 с^–1 получится Δω = (200) · (0.01) = 2, тогда ее длительность Δt ≈ 1/2 ≈ 0.5 c.

С помощью Фурье-преобразования можно рассмотреть интересную задачу о распространении импульса в среде с дисперсией (вспомните сказанное о Фурье-преобразовании в задачах 2.8, 2.21–2.23 из [2]).

Если сложить пакет синусоид вида с правильно подобранными амплитудами g(ω), то их можно заставить интерферировать и создать волну с нужной зависимостью от времени. Если в некоторой точке пространства, скажем, в х = 0, известна зависимость импульса от времени, то можно получить амплитуды g(ω), взяв Фурье-преобразование:

(3.1.5)

Если требуется рассчитать временную зависимость импульса в точке иной, чем х = 0, то придется добавить распространяющиеся волны вида . Компоненты с разной частотой распространяются каждая со своей фазовой скоростью v_p = ω/k. Если дисперсии нет, k и ω связаны так: k = ω/с, где с – константа с размерностью скорости, и фазовая скорость одинакова для всех частот: v_p = с. Однако зачастую имеют место разные дисперсионные соотношения k(ω), и поэтому компоненты с разной частотой движутся с разными скоростями. Поскольку частотные компоненты обладают сдвигом фазы относительно друг друга, то форма импульса изменяется.

Если среда имеет линейный отклик на волны, то Фурье-анализ дает легкий способ сложить все частотные компоненты с разными фазовыми скоростями. Если зафиксировать время, то величина kx задает для каждой частотной компоненты изменение фазы за счет движения в другую точку пространства. В комплексных обозначениях это означает, что спектр в точке х связан со спектром в точке х = 0 соотношением:

(3.1.6)

Если взять обратное Фурье-преобразование этого спектра

(3.1.7)

можно найти форму импульса для любого х. Учтите, что последнее выражение явно содержит сумму распространяющихся волн, о которых мы говорили в начале.

Применим эти идеи для моделирования распространения волн на воде. Поскольку (3.1.4) и (3.1.6) записаны как обычные интегралы Фурье, можно применить Maple. Интервал времени 200 с, N = 65536. Ниже дана последовательность операторов, которые нужно переписать как команды Maple.

• N = 216;
• tmax = 200;
• tau = tmax/(N – 1);
• t = 0:tau:(N – 1)*tau;
• dw = 2*Pi/tmax;
• w = – (N/2)*dw:dw:dw*(N/2 – 1)

Массив должен быть симметричным, чтобы можно было применять соответствующие процедуры Фурье-анализа.

Создадим начальный импульс на воде . Это водяной горб, нечто вроде того, что создается при движении лодки (лодка создает две волны, а у нас – одна). Чтобы посмотреть форму волны, нарисуйте f(х, t = 0), а затем с помощью Фурье-преобразования найдите спектр g(ω, х = 0). Теперь, умножив g(ω, х = 0) на , найдите спектр импульса при х = 30. Дисперсионное соотношение для воды:

, (3.1.8)

где g – ускорение свободного падения, d – глубина воды. Поскольку нам нужно k(ω), то (3.1.8) придется решать численно. Учтите, что массив ω содержит 65536 элементов и каждый придется рассчитывать. Для подсказки ниже дается описание процедуры расчета дисперсионного соотношения для воды:

• Приближенное вычисление величины k (при |kd| > 20 погрешность меньше 10^–15).
• k := w*abs(w) / g;
• Улучшение погрешностей для |kd| < 20 с помощью dsolve.
• Вычисление дисперсионного соотношения.
• Цикл по значениям k.
• Уточнение k.
• end;

И последнее. Возьмите обратное Фурье-преобразование и найдите g(ω, х = 30). Изобразите на одном графике g(ω, х = 0) и g(ω, х = 30) и прокомментируйте увиденное. Какая из волн движется быстрее: с большой или с малой частотой?

Дисперсию волн на воде вы, наверное, видели. Когда край волны отходит от лодки, она имеет один водяной горб. Но горб содержит множество компонент с разной частотой. При распространении волны каждая ее компонента движется со своей фазовой скоростью, и из горба создается рябь на воде. В конце концов на берег приходит длинная череда ряби, а не единичный горб.