Стационарный поток частиц, имеющих массу m и энергию Е, падает на абсолютно непроницаемую стенку: U(х) = 0 при х > 0 и U(х) → ∞ при х < 0 (рис. 4.1.1).

Найдите и изобразите графически распределение плотности вероятности местонахождения частиц w(х) и координаты точек максимума w(х).

Рис. 4.1.1

Частица массой m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ (рис. 4.1.2).

(a) Покажите, что при Е < U₀ коэффициент отражения R барьера равен 1. Найдите распределение плотности вероятности местонахождения частицы w(х) для нескольких значений Е, например для Е = U₀/2.

(b) Для энергии частицы Е < U₀ найдите эффективную глубину хэфф проникновения частицы под барьер, т. е. расстояние от границы барьера до точки, в которой плотность вероятности местонахождения частицы w(х) уменьшается в E раз. Вычислите хэфф для электрона, если величина U₀ – Е принимает несколько разных значений, например 0.1, 0.2, 0.4, 1.0, 1.4, 2.0 эВ.

Рис. 4.1.2

Частица массой m падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀. Энергия частицы Е > U₀ (рис. 4.1.3).

(a) Найдите и изобразите средствами Maple коэффициент отражения R и коэффициент прозрачности этого барьера. Убедитесь, что эти коэффициенты не зависят от направления движения частицы.

(b) Найдите и изобразите средствами Maple распределение плотности вероятности местонахождения частицы w(х) при нескольких значениях Е, например для Е = 4U₀/3.

Рис. 4.1.3

Частица массой m движется слева направо в потенциальном поле, которое в точке х = 0 испытывает скачок U₀ (рис. 4.1.4). Слева от точки х = 0 энергия частицы равна E.

Найдите коэффициент отражения R для предельных случаев E << U₀ и E >> U₀. Получите графическое представление результата и попробуйте дать графическое представление результата для более общего случая.

Рис. 4.1.4

Частица массой m падает на прямоугольную потенциальную яму шириной L и глубиной U₀ (рис. 4.1.5). Энергия частицы вне ямы равна E.

(a) Найдите коэффициент прозрачности D ямы. Получите графическое представление результата. Проанализируйте зависимость D от E и от L. Проверьте правильность решения для нескольких численных значений, в том числе для E = U₀ = 1.0 эВ и L = 0.10 нм.

(b) Найдите значения энергии частицы, при которых она будет беспрепятственно проходить через яму. Убедитесь, что это будет происходить при условии, что ширина ямы равна целому числу дебройлевских полуволн частицы внутри ямы. Проанализируйте зависимость этой энергии от параметров ямы.

Проверьте на нескольких численных примерах, в том числе для такого: найти E_min для электрона при U₀ = 10 эВ и L = 0.25 нм.

(c) При рассеянии медленных электронов на атомах криптона возникает глубокий минимум для энергии E = 0.6 эВ, что объясняют резким увеличением проницаемости атомов. Этот эффект обусловлен волновыми свойствами электронов. Считая, что для электрона потенциал атома криптона выглядит как одномерная прямоугольная яма глубиной U₀ = 2.5 эВ (см. рис. 4.1.5), оцените радиус атома криптона.

(d) Найдите длину ямы L, при которой коэффициент отражения максимален.

Рис. 4.1.5

Частица массой m падает на прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ (рис. 4.1.6). Энергия частицы равна E > U₀.

Найдите коэффициент прозрачности барьера D и его выражение при разных значениях E, в том числе для E → U₀. Определите значения энергии E, при которых частица будет беспрепятственно проходить через этот барьер

Рис. 4.1.6

Частица массой m падает слева на прямоугольный потенциальный барьер высотой U₀ (рис. 4.1.7). Энергия частицы E < U₀.

(a) Определите коэффициент прозрачности барьера D. Упростите полученное выражение для D << 1.

(b) Нарисуйте график распределения плотности вероятности местонахождения частицы w(х). Найдите отношение плотностей вероятности в точках х = 0 и х = L для разных значений E, в том числе для E = U₀ /2.

Рис. 4.1.7

Частица массой m падает на прямоугольный потенциальный барьер. При каких условиях частица не будет отражаться от потенциального барьера? Результат представьте в графическом виде. Найдите энергию электрона, при которой он беспрепятственно пройдет над прямоугольным барьером, в зависимости от высоты и ширины последнего.

Численный пример: высота U₀ = 5 эВ, ширина L = 0,1 нм.

Опираясь на выражение для коэффициента прозрачности

где а и b – координаты точек, между которыми V > E, найти вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, показанный на рис. 4.1.8.

Рис. 4.1.8

Опираясь на выражение для коэффициента прозрачности

где а и b – координаты точек, между которыми V > E, найти вероятность прохождения частицы через потенциальный барьер, заданный выражением (рис. 4.1.9).

Рис. 4.1.9

Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками. Найдите собственные значения энергии частицы и ее нормированные собственные функции, если поместить начало координат в середине ямы .

Частица массой m находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками.

(a) Частица излучает фотон, переходя из состояния с номером (n + 1) в состояние с номером n. Найдите связь частоты фотона с классическим периодом колебаний частицы с энергией E_n.

(b) Производная волновой функции у края ямы . Найдите энергию частицы.

(c) Найдите энергию частицы E в стационарном состоянии:

• для состояния, описываемого волновой функцией y= a sin kx, где а и k – заданные постоянные; x – расстояние от края ямы.
• если число узлов волновой функции ψ(х) равно N.

(d) Найдите:

• массу частицы, если разность энергий третьего и второго энергетических уровней равна ΔE;
• квантовое число n энергетического уровня частицы, если интервалы энергии до соседних с ним уровней (сверху и снизу) относятся как 1.4 : 1.

(e) Найдите число энергетических уровней dN в интервале энергий (E, E + dЕ), если уровни расположены очень плотно.

(f) Найдите:

• силу давления частицы на стенку;
• работу, которую необходимо совершить, чтобы медленно сжать яму в γ раз.

(g) Найдите вероятность нахождения частицы в области .

Частица массой m находится в основном состоянии в одномерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Максимальное значение плотности вероятности нахождения частицы равно Р_m. Найдите ширину ямы l и энергию частицы E в данном состоянии.

В одномерной потенциальной яме шириной l с бесконечно высокими стенками находится n электронов. Определите минимальное значение полной энергии E_min и силу давления электронов на стенки. Взаимодействием электронов пренебречь.

Указание: учесть, что

Частица массой m находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Координаты частицы находятся в пределах 0 < x < а, 0 < у < b, где a и b – стороны ямы.

(a) Найдите собственные значения энергии и нормированные собственные функции частицы.

(b) Определите вероятность нахождения частицы с наименьшей энергией в области .

Частица массой m находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Сторона ямы равна l. Найдите значения энергии частицы E для первых четырех уровней.

Частица массой m находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками в основном состоянии. Найдите энергию частицы E, если максимальное значение плотности вероятности нахождения частицы Р_m.

Частица массой m находится в сферически симметричной потенциальной яме: U(r) = 0 при r < r₀; U = ∞ при r = r₀, где r₀ – радиус ямы.

(a) Найдите возможные значения энергии и нормированные собственные функции, зависящие только от r.

Указание: при решении уравнения Шредингера воспользоваться подстановкой .

(b) Найдите наиболее вероятное значение r = r_p и вероятность w нахождения частицы в области r < r_p в состоянии, зависящем только от r. Изобразите графики функций ψ²(r) и r²ψ²(r).

(c) Воспользовавшись решением части (a), найдите средние значения < r>, <r2> и среднего квадратического отклонения <(r – <r>)²> для частицы, находящейся на уровне с номером n.

Частица массой m находится в сферически симметричной потенциальной яме: U(r) = 0 при r < r₀; U = U₀ при r ≥ r₀, где r₀ – радиус ямы.

Найдите с помощью подстановки уравнение, определяющее собственные значения энергии частицы в состоянии, зависящем только от r, при E < U₀ и приведите это уравнение к виду

Определите интервал значений величины («мощность» ямы), при которых яма содержит только один уровень энергии.

Частица массой m находится в двумерной квадратной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками. Сторона ямы равна l. Найдите число состояний частицы в интервале энергий (E, E + dE), если уровни расположены очень плотно.

Частица массой m находится в трехмерной прямоугольной потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. Длины ребер ямы равны a, b, c.

Найдите собственные значения энергии частицы.

Найдите число состояний частицы в интервале энергий (E, E + dE), если уровни расположены очень плотно.

Частица массой m находится в трехмерной кубической потенциальной яме шириной l с абсолютно непроницаемыми стенками. Найдите:

• разность энергий третьего и четвертого уровней;
• энергию шестого уровня и соответствующее ему число состояний (кратность вырождения).

Частица массой m находится в одномерном потенциальном поле U(х) (рис. 4.1.10), где U(0) = ∞.

(a) Найдите уравнение, определяющее возможные значения энергии в области E < U₀. Приведите его к виду

и покажите в графическом решении этого уравнения, что энергетический спектр является дискретным. Определите минимальное значение величины l²U₀, при котором появится n-й дискретный уровень.

(b) Энергия единственного уровня этой частицы равна E = U₀/2. Определите значение величины l²U₀ этой ямы и наиболее вероятное значение координаты частицы.

Рис. 4.1.10

Частица массой m находится в одномерной потенциальной яме, которая показана на рис. 4.1.11, где U(±l) = ∞.

(a) Покажите, что при E > U₀ уравнение, определяющее возможные значения энергии, имеет вид , где

.

(b) Покажите, что при E < U₀ уравнение, определяющее возможные значения энергии, имеет вид , где

.

Рис. 4.1.11

Частица массой m находится в одномерном симметричном потенциальном поле, показанном на рис. 4.1.12.

Найдите уравнение, определяющее возможные значения энергии частицы при E < U₀.

Рис. 4.1.12

Частица массой m находится в одномерной потенциальной яме, которая показана на рис. 4.1.13.

Найдите энергию основного состояния Е₁, если на краях ямы значение ψ-функции вдвое меньше, чем в середине ямы.

Рис. 4.1.13

Электрон находится в одномерной симметричной потенциальной яме шириной 2а = 2 · 10^–10 м. Отношение волновой функции основного состояния на границе ямы к ее максимальному значению внутри ямы равно 1/2. Найдите глубину ямы и энергию ионизации.

Найдите глубину ямы и энергию ионизации электрона, находящегося в основном состоянии в одномерной яме шириной а = 2 · 10^–10 м, для которой U(0) = ∞, U = –U₀ при 0 < x < a, U = 0 при x > а, если известно, что отношение амплитуды волновой функции на границе ямы (х = а) к ее максимальному значению в яме равно .

Частица локализована в трехмерной потенциальной яме прямоугольной формы, ширина которой равна а (рис. 4.1.14).

Определите минимальную глубину ямы U₀, при которой появится первый уровень энергии. Чему равна энергия частицы на этом уровне?

Рис. 4.1.14

Электрон находится в одномерной потенциальной яме, изображенной на рис. 4.1.15, и имеет энергию E = 1.5 эВ (U₀ = ∞). Ширина ямы d = 3 · 10^–10 м.

Найдите высоту потенциального барьера U и его проницаемость D.

За какое время τ вероятность найти электрон в яме уменьшится в два раза? Отражением волновой функции на задней границе потенциального барьера пренебречь.

Указание: вероятность проникновения через барьер в единицу времени равна произведению числа столкновений частицы со стенкой в единицу времени n на коэффициент прозрачности D: λ = nD. Период полураспада T = (ln2)/λ.

Рис. 4.1.15

Электрон находится в одномерной потенциальной яме, изображенной на рис. 4.1.16, и имеет энергию E = 0,9999 эВ (U₀ = ∞). Высота потенциального барьера U = 1 эВ. Найдите ширину ямы, если уровень с указанным значением энергии является первым. Оцените время жизни τ электрона в яме. Отражением волновой функции на задней границе потенциального барьера пренебречь.

Рис. 4.1.16

При сближении атомов возможен туннельный переход электронов внешних оболочек из одного атома в другой, что приводит к уширению уровней (образованию зон в твердом теле). Считая, что в атоме электрон находится в одномерной прямоугольной потенциальной яме шириной а = 10^–10 м на глубине, равной энергии ионизации U₀ = 10 эВ, а ширина барьера d равна среднему расстоянию между атомами (d · 10^–10 м), оцените энергетическое уширение в кристалле.

Дейтрон (ядро дейтерия) состоит из протона и нейтрона. Экспериментально измеренная энергия связи дейтрона составляет E = 2.225 МэВ. Определите глубину трехмерной потенциальной ямы U₀, при которой возможно такое связанное состояние. Принять радиус потенциальной ямы равным r = 1.6 · 10^–15 м.