Явление резонанса можно очень красиво продемонстрировать на примере бокала для вина, разбиваемого сильным звуковым сигналом, частота которого равна собственной частоте бокала. Характер колебаний стенок бокала незадолго до момента разрушения можно увидеть, записав видео с помощью стробоскопа.

Создадим несложную механическую модель, чтобы показать, как изменяется форма наблюдаемых колебаний: ободок стекла из круглого становится эллиптическим, затем снова круглым, а затем эллиптическим, деформированным в перпендикулярном направлении, и т. д.

Рассмотрим систему связанных пружинами масс, которые движутся с вынужденным затуханием. Если система замкнута (последняя масса соединена с первой), эта система может представлять край стекла, приводимого в движение воздушной волной. Разрешена связь только между ближайшими соседями, которые считаются связанными пружиной с большой постоянной упругости k, а также допускаем наличие дополнительной пружины, которая связывает массу с положением равновесия.

Надо создать систему ДУ для dsolve в Maple. Для старых версий понадобится пакет dna (C-й пакет для решения ДУ, интегрированный с dsolve), чтобы ускорить вычисления. Если этот пакет недоступен, то первая команда после перезапуска должна быть опущена, а method=dna следует удалить (или заменить, например: method=rkf45).

Как изобразить стеклянный обод? Выбираем радиус и, чтобы показать движение, берем колебания с минимум десятипроцентной амплитудой. Колебательную систему представляем как линейную цепочку с периодической границей, в которой 1-я и (N + 1)-я массы идентичны. Предполагаем, что движение поперечных волн описывается линейным волновым уравнением: массы перемещаются только перпендикулярно окружности обода. Большая константа связи соответствует тому, что имеется жесткий объект со скоростью звука, сравнимой с металлами (около 5,6 км/с). Добавим некоторое трение, чтобы стационарный резонансный режим выглядел разумно. Исследуем значение резонансной частоты и форму колебаний стекла.

Сначала ДУ составляется с учетом взаимодействия только ближайших соседей и без учета движущей силы. Затем для тех точек, на которые действует переменное давление воздуха из источника звука, добавляется движущая сила (вводится модуляция как функция полярного угла , потому что компонент, перпендикулярный ободу, уменьшается с увеличением ).

Чтобы отобразить аппроксимацию чисто поперечного движения точек, для N масс строится пучок лучей вдоль отдельных значений полярного угла (рис. 4.16.1). Единицы – произвольные и безразмерные. В таком качественном подходе не нужна ассоциация с реальными параметрами.

• restart;
• N:=30: m:=1: k:=20: b:=1/8:
• R0:=1:
• for i from 1 to N do
• if i=1 then
• iM1:=N: iP1:=2:
• elif i=N then iP1:=1: iM1:=i-1:
• else iP1:=i+1: iM1:=i-1:
• end if:
• DE||i:=m*diff(y||i(t),t$2)=k*(y||iM1(t)+y||iP1(t)-2*y||i(t)) -
  b*diff(y||i(t),t) -0.5*y||i(t):
• IC||i:=y||i(0)=0,D(y||i)(0)=0:
• end do: phi_n:=n->evalf((n-1)*2*Pi/N):
• f:=0.95/3.14: # близко ли собственная частота?
• for j from 1 to 4 do:
• DE||j:=lhs(DE||j)=rhs(DE||j)+cos(phi_n(j))/10*sin(2*Pi*f*t);
• if j>1 then k:=N-j+2:
  DE||k:=lhs(DE||k)=rhs(DE||k)+cos(phi_n(k))/10*sin(2*Pi*f*t);
  fi: od:
• DEset:=seq(DE||i,i=1..N):
• ICset:=seq(IC||i,i=1..N):
• solset:=seq(y||i(t),i=1..N):
• sol:=dsolve({DEset,ICset},{solset},numeric,output=listprocedure,method=dna):
• for i from 1 to N do: Y||i:=subs(sol,y||i(t)): od:
• conv:=(r,phi)->[r*cos(phi),r*sin(phi)]:
• Nt:=90: t:='t': dt:=0.25: for it from 1 to Nt do:
  ti:=it*dt; i:='i': PL[it]:=plot([seq(conv(R0+Y||i(ti),phi_n(i)),i=1..N),
  conv(R0+Y1(ti),phi_n(1))],thickness=2): od:
• for ir from 1 to N do: PL2[ir]:=plot([op(conv(s,phi_n(ir))),s=0..1.2*R0],color=blue): od:
• for it from 1 to Nt do: PLc[it]:=plots[display]([PL[it],seq(PL2[ir],ir=1..N)],scaling=constrained): od:
• plots[display](seq(PLc[it],it=1..Nt),insequence=true, scaling=constrained);

Рис. 4.16.1

Для N = 30 находим интересные результаты при таких значениях параметров задачи:

– при m = 1, k = 20, b = 1/4 (или b = 1/8), f = 1.5/3.14 «переворот треугольника» (три гребня);

– при f = 1.0/3.14 вблизи желаемого резонанса;

– при f = 2.5/3.14 множественный гребень (≈ восемь гребней по окружности).

Модель не объясняет, почему в природе подавляются монопольные (а также дипольные) колебания. В расчете низкая движущая частота создает «дыхательный» режим, в котором обод расширяется и сжимается. Можно подавить этот режим, потребовав, чтобы окружность обода оставалась в определенных пределах. Дипольное колебание, вероятно, запрещено вертикальными силами (мы просто моделируем поперечное сечение стекла).

Чтобы связать эти результаты с волновым уравнением, следует понять соотношение константы связи k и числа точек массы. Константа связи k (коэффициент при операторе Лапласа) в волновом уравнении связана со скоростью распространения звуковых волн в стекле (4500 км/с). Это моделируется путем связывания соседних масс константой связи k. Связь соседних масс представляется приближением конечных разностей для второй производной, причем масштабный множитель задается как k/dx2 = K, где dx – расстояние между двумя массами. Таким образом, для фиксированной длины L = 2πRdx = L/N = Rd.

Измените частоту f так, чтобы были получены различные стационарные формы колебаний.

Измените k: опишите колебания, наблюдаемые при более мягких пружинах.

Нарисуйте график движения массы для = 0 и = π /2 как функции времени. Рассмотрите фазовые соотношения двух движений при прохождении частоты через резонанс. Обратите внимание, как амплитуда установившегося состояния изменяется при настройке частоты возбуждения на резонанс.