(Эта задача раздражает, но ее придется решить.)

При использовании Maple для выполнения домашних заданий по физике вы затратите массу времени, пытаясь заставить Maple дать вам ответ нужного вида. Часто это оказывается виртуально невозможным, и вам надо научиться тому, чтобы Maple помогал вам в выполнении алгебраических ручных выкладок, а не пытаться насильно заставить Maple подчиниться.

Формула для вычисления сопротивления цепи резисторов:

Поработайте над ней с помощью Maple, пока не получите наполовину красивую формулу для R с R4·R5 в числителе и суммой членов в знаменателе, один из которых – дробь со знаменателем R1·R2 + R1·R3 + R2·R3 и с множителем R4·R5 в числителе, умноженная на другую величину, и второй – из двух добавочных членов со знаменателем R4 + R5.

Заставить Maple выдать результат в нужном виде непросто, поэтому используйте его в качестве инструмента, помогающего избежать ошибок при выполнении задачи вручную на бумаге.

Это упражнение поможет потренироваться в применении копирования/вставки как средства алгебры Maple.

В курсе физики изучалось столкновения двух частиц. Рассмотрим простой случай, когда две частицы движутся вдоль оси х. Две частицы с массами m₁и m₂, начальными скоростями v_1i и v_2i, причем быстрая частица позади медленной, и поэтому они могут столкнуться. Найти конечные скорости v_1f и v_2f.

Упругие столкновения. Для решения задачи запишем условия сохранения энергии и импульса:

    и    

где из уравнения для кинетической энергии выброшена . Пусть Maple решит его и найдет конечные скорости. Проанализируйте физический смысл полученных решений. Рассмотрите случаи:

(i) m₁ = m₂

(ii) m₂ >> m ₁  и  v_2i < v_1i – легкая частица приходит сзади и сталкивается с массивной частицей;

(iii) m₁ >> m₂   и   v _2i< v_1i – массивная частица приходит сзади и сталкивается с легкой.

Обсудите, имеют ли эти случаи физический смысл?

На первом курсе в курсе физики изучалось движение снаряда в поле тяготения, и получались уравнения для вертикальной и горизонтальной компонент скорости:

Пусть заданы x₀, y₀, начальная скорость v₀ и угол θ начальной скорости с горизонтальной осью (плоскостью). Пусть также известна максимальная высота траектории снаряда y_f.

Найти формулу для дальности полета снаряда x_f и времени полета до точки падения. Не ограничивайтесь простым применением RootOf, а получите красивые рабочие формулы. Получив два решения, выясните, какое из них является физичным, а какое – нет.

После получения конечного выражения для x_f. и времени полета положите x₀ = 0, y₀ = 0, g =9.8 м/с², v₀ = 50 м/с и постройте графики времени полета в зависимости от угла θ, если цель находится ниже точки выстрела – y_f = –200 м. Диапазон значений θ задайте (стрельба вперед-вниз или вперед-вверх). Рассмотрите графики, чтобы удостовериться в их физической значимости. Объясните, почему угол 45° не дает лучшую область?

Свет проходит из (прозрачной) области a в (прозрачную) область b, из которой – в область c, как показано на рисунке, созданном командами Maple. Коэффициенты преломления областей n_a, n_b, n_c.

• > restart:
• > with(plots):with(plottools):
• > l2:=listplot([[0,-2],[0,2]]):
• > l3:=listplot([[1,-2],[1,2]]):
• > t1:=textplot([-.5,.5,"a"]):
• > t2:=textplot([.5,.5,"b"]):
• > t3:=textplot([1.5,.5,"c"]):
• > l4:=plot(.5*sin(20*(x+1))-.5,x=-1..-.2):
• > a1:=arrow([-.7,-1.3],[-.4,-1.3],.05,.2,.2):
• > plots[display]([t1,l2,t2,l3,t3,l4,a1],axes=none,thickness=3,view=[-2..2,-2..3],font=[HELVETICA,14]);

Уравнения Максвелла говорят, что при нормальном падении, как в рассматриваемом случае, соотношения между падающей волной в области 1 и отраженной в ней и прошедшей в область 2 волной задаются так: . Для удобства будем называть эти два отношения R₁₂ и Т₁₂ соответственно.

Ваша задача заключается в том, чтобы, следуя последовательно за прохождением и отражением волны в областях, изображенных на рисунке, прийти к конечному выражению для отраженного в область луча как функции трех показателей преломления, толщины h области b и волнового числа k_b света в области b.

Это сложная задача, и она потребует хороших навыков работы в Maple. Этапы решения:

(a) Первые соотношения отраженного и прошедшего лучей – это просто R_ab и Т_ab.

(b) Теперь подумайте, что произойдет со светом, прошедшим в области b. Вначале он отразится от области с, его фаза сдвинется на комплексный множитель за счет повторного прохождения через b от а до с и обратного прохождения в область а. Покажите, что множитель для всего процесса, включая первое прохождение, есть . Здесь нужна внимательность.

(c) Теперь покажите, что кратность каждого последовательного отражения задается так:, где первое многократное отражение в области b соответствует m = 0.

(d) Теперь скомбинируйте все это, чтобы получить формулу для полного отражения:

Скопируйте эту формулу в рабочий лист и поработайте над ней.

(e) Чтобы построить формулу для R(n_a, n_b, n_c, 2k_b, h), используйте при суммировании формулы для коэффициентов пропускания и отражения и результаты Maple. Получив ее, «покрутите», чтобы привести к виду, из которого легко получить отдельные уравнения для Re и Im. Отраженная волна будет точно нулем, если исчезают обе части – Re и Im. Удобно задать переменную x = 2k_bh. Если задать переменную , то вид некоторых уравнений упростится. В завершение вычислений формулы могут стать жуткими, но в конце концов упростятся. Окажется, что sin(x) = 0 при , а затем получится . Такой же результат получится, если пренебречь кратными отражениями и прохождениями.